Himpunan Matematika

BAB I

PENDAHULUAN

A.          Latar Belakang Masalah

Konsep fungsi merupakan salah satu konsep yang penting dalam matematika. Banyak permasalahan sehari-hari yang tanpa disadari menggunakan konsep ini.

Misalnya, dalam suatu kegiatan donor darah, setiap orang yang akan jadi pendonor diminta untuk menyebutkan jenis golongan darahnya. Dari data diketahui Andi bergolongan darah A. Budi golongan darahnya B, Ahmad golongan darahnya A, Anton golongan darahnya O, Abdul golongan darahnya AB, dan Bagus golongan darahnya B. Jika suatu saat dibutuhkan pendonor golongan darah A, siapakah yang dapat jadi pendonor?

Kasus tersebut merupakan contoh permasalahan yang menerapkan konsep fungsi. Jika diamati, setiap orang yang telah disebutkan mempunyai satu jenis golongan darah saja. Jadi, kita harus mengetahui tentang konsep fungsi maupun relasi.

B.          Rumusan Masalah

1.    Apa yang harus kita ketahui tentang korespondensi satu-satu

2.    Apa saja yang ada dalam relasi?

3.    Apa saja yang ada dalam fungsi/ pemetaan?

C.          Tujuan

1.    Untuk mengetahui tentang korespondensi satu-satu

2.    Untuk mengetahui apa saja yang ada pada relasi

3.    Untuk mengetahui tentang fungsi-fungsi/ pemetaan

BAB II

PEMBAHASAN

A.          KORESPONDENSI SATU-SATU

Misal himpunan anak-anak P = {Ari, Budi, Candra} dan himpunan garis di dalam kolam renang S = {1,2,3}. Misal pula setiap anak di P berenang di atas sebuah garis yang beri nomor 1,2, atau 3, sedemikian sehingga tidak ada dua anak berenang di atas garis yang sama. Pasangan antara anak dan garis seperti ini adalah suatu korespondensi satu-satu. Salah satu cara untuk menampilkan korespondensi satu-satu ini adalah Ari ↔ 1, Budi ↔ 2, Candra ↔ 3.

                                               P                          S

Ada enam kemungkinan untuk menyatakan korespondensi satu-satu antara himpunan P dan himpunan S adalah sebagai berikut:

(1)          Ari↔1, Budi↔2, Candra↔3

(2)          Ari↔1, Budi↔3, Candra↔2

(3)          Ari↔2, Budi↔1, Candra↔3

(4)          Ari↔2, Budi↔3, Candra↔1

(5)          Ari↔3, Budi↔1, Candra↔2

(6)          Ari↔3, Budi↔2, Candra↔1

1.    Korespondensi Satu-satu

Jika anggota-anggota dari himpunan P dan himpunan S dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota dari himpunan P ada tepat satu anggota dari himpunan S dan setiap anggota dari himpunan S ada tepat satu anggota dari himpunan P, maka kedua himpunan P dan S dikatakan berkorespondensi satu-satu.

Cara lain untuk menampilkan korespondensi satu-satu adalah menggunakan tabel, seperti tampak pada tabel berikut, dimana garis lintasan ditulis di paling atas tabel dan kemungkinan pasangan-pasangan antara garis lintasan renang dan perenangnya ditulis dibawahnya.

1	2	3
Ari	Budi	Candra
Ari	Candra	Budi
Budi	Ari	Candra
Budi	Candra	Ari
Candra	Ari	Budi
Candra	Budi	Ari

Berikutnya, akan ditampilkan penggunaan diagram pohon untuk masalah di atas, yaitu sebagai berikut:

Dari diagram pohon diatas tampak bahwa ada 3 . 2 . 1 = 6 kemungkinan korespondensi satu-satu antara lintasan dan perenang.

2.    Produk Kartesius

Salah satu cara untuk memperoleh sebuah himpunan dari dua himpunan yang diketahui adalah dengan membentuk produk kartesius. Formasi ini memasangkan unsur-unsur pada satu himpunan dengan unsur-unsur yang ada pada himpunan lain secara spesifik. Misalkan seseorang mempunyai tiga buah celana, P={biru, putih, hijau} dan dua baju, S={biru, merah}. Dari kondisi ini, ada 3 . 2 atau 6 kemungkinan pasangan berbeda pasang celana-baju. Unsur pertama dari setiap pasangan adalah unsur dari himpunan P dan unsur kedua dari setiap pasang adalah unsur dari himpunan S. Dengan demikian (biru, merah) menunjukkan celana biru dan baju merah. Karena faktor urutan pada pasangan ini sangat penting, pasangan ini disebut pasangan terurut. Suatu himpunan yang memuat pasangan-pasangan terurut seperti pasangan celana-baju diatas adalah produk kartesius dari himpunan celana dan himpunan baju.

Definisi:

Misalkan A dan B dua buah himpunan sebarang. Produk kartesius A dan B, ditulis AB, adalah himpunan semua pasangan terurut sedemikian sehingga unsur pertama dari setiap pasang adalah unsur dari A dan unsur kedua dari setiap pasang adalah unsur dari B.

Catatan:

AB sering kali dibaca “A kros B”.

B.         RELASI

1.    Pengertian Relasi

Secara umum, relasi berarti hubungan. Relasi dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota himpunan A dengan anggota B.

Contoh:

Definisi:

Misalkan A dan B dua buah himpunan. Suatu relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari AB. Hal ini berarti jika R adalah suatu relasi maka R A B. Jika A = B maka dikatakan bahwa relasi ini adalah pada A.

2.    Sifat-sifat Relasi

a.              Sifat Refleksif

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat refleksif jika dan hanya jika (a,a) R untuk setiap a A. Dengan kata lain, relasi ini berelasi terhadap dirinya sendiri. Sebagai contoh, relasi “ berjenis kelamin sama dengan” pada himpunan manusia merupakan relasi refleksif karena setiap orang berjenis kelamin sama dengan dirinya sendiri. Relasi “sama dengan” pada himpunan bilangan real juga merupakan relasi refleksif karena setiap bilangan real sama dengan bilangan itu sendiri.

Relasi “orang tua dari” himpunan manusia bukan merupakan relasi refleksif karena seseorang bukan orang tua dari dirinya sendiri.

b.              Sifat Simetris

Suatu relasi R pada himpunan A adalah simetris jika dan hanya jika dan hanya jika (a,b)  R, berlaku (b,a)  R untuk setiap a, b  A.

Sebagai contoh, relasi “bersaudara dengan” merupakan relasi simetris pada himpunan manusia karena bila Ahmad bersaudara dengan Siti maka Siti juga bersaudara dengan Ahmad. Untuk relasi “orang tua dari” bukan relasi simetris karena bila Umar orang tua dari Fatima, tentu Fatima bukan orang tua dari Umar.

c.              Sifat Transitif

Suatu relasi R pada himpunan A adalah transitif jika dan hanya jika (a,b)  R, (b,c)  R berlaku (a,c)  R untuk setiap a, b, c  A.

Perhatikan contoh, relasi “bersaudara dengan” merupakan relasi transitif pada himpunan manusia karena bila Ahmad bersaudara dengan Siti dan Siti bersaudara dengan Umi, maka Ahmad juga bersaudara dengan Umi. Untuk relasi “orang tua dari” bukan relasi transitif karena bila Umar orang tua dari Fatimah, dan Fatimah orang tua dari Qodir maka akan salah bila disimpulkan bahwa Umar orang tua dari Qodir.

d.             Sifat Ekivalen

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan bersifat ekivalen jika dan hanya jika relasi itu bersifat refleksif, simetris dan transitif.

Contoh:

Selidiki apakah relasi R= {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} pada himpunan A=  {1,2,3} bersifat refleksif, simetris, transitif dan ekivalen?

Jawab:

-       Karena ada (1,1), (2,2), (3,3) merupakan anggota dari relasi R, maka relasi R bersifat refleksif.

-       Ada (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2) di R, berarti untuk setiap (a,b)  R berlaku (b,a)  R. Dengan demikian, relasi R bersifat simetris.

-       Relasi R juga bersifat transitif karena ada (1,2) dan (2,3) menghasilkan (1,3) ; (1,3) dan (3,1) menghasilkan (1,1) ; (2,3) dan (3,1) menghasilkan (2,1) ; serta (1,3) dan (3,2) menghasilkan (1,2). Dengan demikian pada R, berlaku untuk setiap (a,b)  R dan (b,c)  R sedemikian hingga (a,c)  R.

-       Karena relasi R bersifat refleksifbsimetris dan transitif maka R bersifat ekivalen.

3.    Menyatakan Relasi

Ada 3 cara untuk menyatakan relasi yaitu:

a.              Diagram Panah

Diagram panah yaitu, hubungan antara anggota-anggota dari dua himpunan di gambar dengan anak panah-anak panah.

Contoh:

Relasi “faktor dari” dari himpunan A={1,2,3} ke himpunan B={2,3,4,5,}

            

Contoh Soal:

Diketahui himpunan-himpunan bilangan A ={3,4,5,6,7} dan B={4,5,6}

Buatlah diagram panah dari himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi:

(1)  Satu kurangnya dari

(2)  Faktor dari

Jawab:

(1)     - 3  A dipasangkan dengan 4  karena 4=3+1

       - 4 A dipasangkan dengan 5  B karena 5=4+1

              -5  A dipasangkan dengan 6  B karena 6=5+1

Jadi, diagram panah dari himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi “satu kurangnya dari” adalah sebagai berikut:

(2)     - 3  A dipasangkan dengan 6  karena 3 merupakan faktor dari 6

       - 4 A dipasangkan dengan 4  B karena 4 merupakan faktor dari 4

              -5  A dipasangkan dengan 5  B karena 5 merupakan faktor dari 5

          - 6  A dipasangkan dengan 6  B karena 6 merupakan faktor dari 6

Jadi, diagram panah himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi faktor dari adlah sebagai berikut:

b.             Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi, antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x  A dan y  B.

Contoh Soal:

Diketahui dua himpunan bilangan P = {0, 2, 4, 6, 8} dan Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5} jika relasi himpunan P ke himpunan Q adalah “dua kali dari”, tentukan himpunan pasangan berurutan untuk relasi tersebut.

Jawab:

0 A dipasangkan dengan 0  B karena 0 = 0  2, ditulis (0,0)

2 A dipasangkan dengan 1  B karena 2 = 1  2, ditulis (2,1)

4 A dipasangkan dengan 2  B karena 4 = 2  2, ditulis (4,2)

6 A dipasangkan dengan 3  B karena 6 = 3  2, ditulis (6,3)

8 A dipasangkan dengan 4  B karena 8 = 4  2, ditulis (8,4)

Jadi, himpunan pasangan berurutan untuk relasi “dua kali dari” adalah {(0,0), (2,1), (4,2), (6,3), (8,4)}

c.              Diagram Cartesius

Pada diagram cartesius, anggota-anggota himpunan A sebagai himpunan pertama ditempatkan pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B pada sumbu tegak. Setiap anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B, diberi tanda noktah (•). Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram Cartesius yang menunjukkan relasi ” menyukai warna ” :

C.          FUNGSI/ PEMETAAN

1.    Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain.

2.    Sifat-sifat Fungsi

Perhatikan fungsi f : x  y dan g : x y dengan  f  : x   dimana x  0, dan g (x) =  , x  0

Grafik fungsi f  dan g, suatu garis mendatar y = b yang di gambar pada bidang cartesius memotong grafik paling banyak di satu titik/ tidak memoton, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Jika kita memilih suatu garis horizontal y = b dengan b anggota range, garis tersebut memotong setiap fungsi tepat satu titik. Fungsi f  dan g merupakan contoh fungsi satu-satu/ injektif.

Suatu fungsi  f : x  y  dikatakan fungsi satu-satu/ injektif jika tidak ada dua anggota x yang mempunyai bayangan sama dibawah fungsi f . Atau dapat ditulis sebagai berikut:

Suatu fungsi f : x  y merupakan fungsi satu-satu bila memenuhi:

Misalkan X₁ dan X₂ anggota X₁ maka X₁ = X₂  f (X₁) = f (X₂)

Suatu fungsi f : x  y kadang-kadang dikatakan ‘X_into (ke) Y’ Seperti kita ketahui, range dari suatu fungsi merupakan himpunan bagian dari kodomain fungsi tersebut. Pada kejadian khusus, yang di dalamnya range fungsi sama dengan kodomain, fungsi tersebut dikatakan fungsi onto atau fungsi pada. Suatu fungsi f : x  y dikatakan ‘onto’ atau ‘onto Y‘ jika setiap elemen pada kodomain juga merupakan elemen pada range f. Dengan kata lain, untuk setiap y  Y paling sedikit merupakan pasangan dari satu anggota x sedemikian sehingga f (x) = y. Suatu fungsi onto juga dikatakan fungsi surjektif. Suatu fungsi juga dapat dikatakan sebagai fungsi satu-satu onto atau fungsi satu-satu pada atau lebih dikenal dengan istilah fungsi bijektif.

3.    Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Perhatikan fungsi yang dinyatakan sebagai diagram panah pada gambar diatas. Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut  kodomain (daerah kawan). Dari gambar tersebut, dapat diperoleh

·      2  B merupakan peta dari 1  A

·      3  B merupakan peta dari 2  A

·      4  B merupakan peta dari 3  A

Himpunan peta tersebut dinamakan range (daerah hasil). Jadi, dari diagram panah pada gambar tersebut diperoleh:

·      Domainnya (D_f) adalah A = {1,2,3}

·      Kodomainnya adalah B = {1,2,3,4}

·      Rangenya (R_f) adalah {2,3,4}

Contoh Soal:

Diagram panah tersebut menunjukkan fungsi himpunan P ke himpunan Q dengan relasi “dua kali dari”. Tentukkanlah domain, kodomain dan range fungsinya.

Jawab:

·                Domainnya (D_f) adalah P = {4,6,8,10}

·                Kodomainnya adalah Q = {1,2,3,4,5}

·                Rangenya (R_f) adalah {2,3,4,5}

4.    Grafik Fungsi

Perhatikan gambar di atas. Aturan yang memetakan himpunan A ke himpunan B pada gambar tersebut adalah untuk setiap x anggota A dipetakan ke (x + 1) anggota B. Suatu fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f , g atau h. Jika fungsi pada gambar diatas dinamakan f  maka fungsi tersebut dinotasikan dengan f : x x + 1 (dibaca : fungsi f  memetakan x ke x + 1).

Dengan demikian, pada pemetaan f : x  x + 1 dari himpunan A ke himpunan B diperoleh:

Untuk  x  = 1,  f  : 1  1 + 1 atau f  : 1  2 sehingga (1,2)   f

Untuk  x  = 2,  f  : 2  2 + 1 atau f  : 2  3 sehingga (2,3)  f

Untuk  x  = 3,  f  : 3  3 + 1 atau  f  : 3  4 sehingga (3,4)   f

Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat dituliskan dalam bentuk tabel atau daftar. Untuk fungsi f : x  x + 1, tabelnya adalah sebagai berikut:

Tabel fungsi f : x → x + 1
x	1	2	3
x + 1	2	3	4
Pasangan Berurutan	(1, 2)	(2, 3)	(3, 4)

Dengan menggunakan pasangan-pasangan berurutan yang diperoleh pada tabel fungsi diatas dapat digambar grafik Cartesius untuk fungsi  f  :  x  x + 1 seperti tampak pada gambar diatas.

Gambar diatas merupakan grafik Cartesius fungsi f  : x   x + 1 dengan domain D_f  = A = {1,2,3}, kodomain B = {1,2,3,4} dan Range R_f = {2,3,4} yang digambarkan dengan noktah-noktah. Jika domain dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil, rangenya ditunjukkan dengan garis yang melalui noktah-noktah seperti pada gambar diatas.

Contoh Soal:

Gambarlah grafik fungsi f : x  2 x  pada bidang Cartesius dengan domain dan kodomainnya himpunan bilangan riil.

Jawab:

Terdapat beberapa langkah untuk menggambarkan suatu grafik fungsi, sebagai berikut

(1) Tentukan domainnya. Untuk memudahkan, ambil beberapa bilangan bulat di sekitar nol.

(2) Buat tabel pasangan berurutan fungsi tersebut.

x	-2	-1	0	1	2
2x	-4	-2	0	2	-4
Pasangan Berurutan	(-2, -4)	(-1, -2)	(0, 0)	(1, 2)	(2, 4)

(3) Gambarkan noktah-noktah pasangan berurutan tersebut pada bidang Cartesius. Kemudian hubungkan noktah-noktah itu dengan garis lurus sehingga diperoleh grafik seperti pada gambar berikut:

5.    Banyak Fungsi (Pemetaan)

Jika banyak anggota himpunan A adalah n (A) = a, banyak anggota himpunan B adalah n (B) = b, maka:

a.    Banyak fungsi yang mungkin dari A ke B = b^a

Contoh:

Banyak fungsi dari himpunan A = {p, q, r} ke B = {x, y} adalah 2³ = 8

b.    Banyak fungsi yang mungkin dari B ke A = a^b

Contoh:

Banyak fungsi dari himpunan B = {x, y} ke A = {p, q, r} adalah 3² = 9

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

Jika anggota-anggota dari himpunan P dan himpunan S dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota dari himpunan P ada tepat satu anggota dari himpunan S dan setiap anggota dari himpunan S ada tepat satu anggota dari himpunan P, maka kedua himpunan P dan S dikatakan berkorespondensi satu-satu.

Secara umum, relasi berarti hubungan. Relasi dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota himpunan A dengan anggota B.

Ada 3 cara untuk menyatakan relasi yaitu:

1.    Diagram Panah

2.    Himpunan Pasangan Berurutan

3.    Diagram Cartesius

Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain.

DAFTAR PUSTAKA

Agus, Nuniek Avianti. 2008. Mudah Belajar Matematika 2 untuk Kelas VIII SMP/ MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Banendro, S.Pd. 2006. Matematika untuk SMP/ MTs. Solo: Putra Kertonatan

                 . 2008. Pembelajaran Matematika SD. Bandung: Universitas Pendidikan Islam

Saeful A, Kusaeri, Irzani, dan Nu’man, Mulin. 2008. Matematika 1. Surabaya: LAPIS-PGMI

Hartana, S. Pd. 2002. Matematika untuk SMP dan Sederajat. Klaten: Prospektif Plus